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0 |
수의 기원. 정수나 분수보다도 늦게 발명된 수
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1 |
선, 빛 질서, 행복의 상징
1은 하나의 수량을 말하지만 동시에 사물의 전체와 太極을 나타내고 있는 수이다. 음양의 이치에서 보면 1은 아무 수와도 섞이지 않은 순양(純陽)의 수이다. 또한 최초의 수이므로 1에서부터 모든 사물이 생겨나게 된다는 뜻이 담겨 있다.
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2 |
악, 어둠, 무질서, 불행의 상징이면서 최초의 짝수로서 여성을 의미
2는 하나가 아닌 최초의 단위이자 최초의 음수(陰數ː짝수)이며 순음(純陰)의 수이다. 또한 음과 양, 하늘과 땅, 남과 여 등과 같이 둘이 짝하여 하나가 된다는 대립과 화합의 의미를 담고 있다. |
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3 |
1과 2를 통합하는 수이기 때문에 완전무결한, 흠이 하나도 없는 수라고 믿었다.
1을 제외한 최초의 홀수로서 남성을 의미한다.
3은 세계 어느 나라에서도 길수(吉數)로 삼고 있지만 동양권, 특히 우리나라에서는 뚜렷한 수 관념을 형성하여 사상계에서부터 민간 풍속에 이르기까지 수 중의 수, 최상의 수로 여기고 있다. 3은 양수의 시작인 순양 1과 음수의 시작인 순음 2가 최초로 결합하여 생겨난 변화수이다. 즉 음양의 조화가 비로소 완벽하게 이루어진 수가 3이다. 따라서 3은 음양의 대립에 하나를 더 보탬으로써 완성, 안정, 조화, 변화를 상징하고 있다.
우리 조상들은 좋은 일, 궂은 일에도 3이라는 수를 널리 사용하여 좋은 일은 더욱 좋게, 궂은 일은 원만히 풀어갈 수 있기를 소망하는 그들의 마음을 당고 잇다. 그 예로써는, 三才(天地人), 三寶(불교의 佛·法·僧), 三神할머니(출산을 다스리는 産神을 셋으로 봄), 三年喪, 수염이 석 자라도 먹어야 양반, 세 살 버릇 여든까지 간다, 중매는 잘하면 술 석잔 잘못하면 뺨 석대, 삼 세 번, 코가 석자, 三尺童子, 겉보리 석 되만 있으면 처가살이 않는다, 장님을 셋 보면 그 날 재수가 좋다 등이 있다.
3을 두 번 쓴 33은 가장 완벽한 수이자 강력한 전체성을 상징하는 독특한 수관념을 형성하고 있다. 科擧 文科의 정원이 33명(무과는 二十八宿가 하늘은 지킨다하여 28명이었음)이었고, 삼일 운동 때의 민족 대표도 33인이었다. |
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4 |
우리나라에서는 4의 발음 때문에 무척 꺼려하는 수이지만, 고대 그리이스에서는 1,2,3,4의 4개의 수로 완전한 수 10을 만들 수 있기 때문에 '성스러운 수'로 여겼다.
4는 '죽을 사(死)'와 발음이 같아 죽음을 연상하는 불길한 수로 인식되고 있음은 우리나라 사람이면 누구나 아는 사실이다. 우리나라의 병원, 호텔, 아파트 등과 같은 건물에서 4층을 5층으로 표기하고 있어, 우리 문화권에 익숙하지 않은 외국인들이 당황하는 경우가 많다. 이렇게 기피하고 있는 숫자임에도 4는 오랜 세월 동안 4방위, 4주(四柱), 4계절 등으로 익숙히 사용되면서 우리의 관념 속에 독립된 관용어로 형성되어 있다.
4라는 숫자의 핵심은 나 또는 우리를 중심으로 하여 동서남북의 사방을 둘러싸고 있다는 인식이다. 따라서 중앙을 지켜줄 수 있으며, 이러한 중심을 둘러싸고 있는 사방은 '전체'로서의 의미로 파악되고 있다. 『 四海ː세계·온 천하, 四民ː士農工商 곧 온 백성, 四天王, 四苦ː생로병사, 四君子ː매란국죽, 文房四友ː紙筆墨硯, 四象醫學ː태양인·태음인·소양인·소음인 』등은 모두 이러한 관점에서 출발한 것이다. '나', '인간'을 중심으로 사방의 기둥에 서로 균형과 조화를 이루는 네 가지 요소를 배열함으로써 비로소 중심이 온전해질 수 있다는 인식을 담고 있다. 따라서, '4개의 뿌리' 또는 '4개의 기둥'이라는 四柱의 말뜻도 태어난 연월일시의 각 기둥이 나를 구성하고 있는 기본적인 네 개의 뿌리이며, 나를 중심으로 사방에 서 있어 운명을 좌우한다는 의미가 담겨져 있다.
옛사람들은 하늘은 양, 땅은 음기로 이루어졌다고 생각하여 양은 하늘의 모양인 圓으로 나타내고, 음은 땅의 모양인 方形으로 표시하였다. 옛 문헌을 보면 하늘은 '象圓, 周圓' 등으로, 땅은 '四方, 八方' 등으로 표기하였다. 따라서 사람은 땅에 살고 있으므로 그 주변을 사방이라 표시하면서 자신을 둘러싼 '완성된 전체'로 파악하게 된 것이다.
또한 4는 그 배수인 8과 함께 쓰여져 중복의 의미, 즉 강조의 효과를 나타내는 경우가 많다. 四方八方, 四苦八苦, 四柱八字, 四八虛通, 四通八達 등과 같이 같은 의미를 두 번 반복함으로써 원래의 뜻을 더욱 강조하는 데 사용되고 있다. |
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5 |
여성인 2와 남성인 3의 합이 5이므로 결혼을 의미
예로부터 동양사람들은 우주창조의 근본이 음양오행학에 있다고 믿었다. 하늘과 땅이 생겨난 뒤에 음과 양의 두 기운은 다섯 가지 원소를 생산하였다. 이것이 바로 木·火·土·金·水의 5행이다. 오행은 음양을 모체로 하여 생겨난 것이며, 또한 오행의 하나하나에는 음과 양의 두 기운이 모두 포함되어 있다. 따라서 음양과 오행이 조화를 이루어 十干과 十二支가 정립되었고, 다시 오행의 각 기운과 직결된 五色·五味·五臭·五覺 등이 파생된 것이다.
이와 같은 이치에서 동양에서는 5를 모든 것을 갖춘 수로 파악하고 있다. 즉 음양오행의 원리가 모두 갖추어진 완전한 수인 것이다. 방위에 있어서 동서남북에 중앙을 보탬으로써 비로소 5행이 갖추어진 전체로서의 완전함을 뜻하게 되며, 三色인 靑赤黃에 白과 黑을 더함으로써 완전한 기본색인 五色이 된다. 짠맛·단맛·신맛·쓴맛·매운맛의 五味, 仁義禮智信의 五常, 간장·심장·비장·폐장·신장의 五臟, 눈·혀·몸·코·귀의 五官, 궁상각치우의 五音 등이 모두 오행의 이치에서 파생된 것이다. 이처럼 5는 오행사상의 원리에 따라 '모든 것이 이치에 맞게 갖추어진 완전함'을 뜻함으로써 서양에서는 볼 수 없는 동양 특유의 수 관념을 형성하고 있다. |
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6 |
약수인 1,2,3의 합으로 이루어진 최초의 완전수 |
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7 |
모든 수의 6제곱에서 1을 빼면 7의 배수이다. |
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8 |
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9 |
9는 9, 19, 99 할 것 없이 '양의 기운이 가득히 충만된 수'로 사용되었으며, 특히 '높다, 깊다, 길다, 많다' 등의 의미로 많이 사용되고 있다. 넓은 하늘: 九天·九重·九乾, 깊은 마음속: 九曲肝腸, 깊숙한 궁궐: 九重宮闕, 산 길 등이 길고 험함: 九折羊腸, 큰 홍수: 九年之水, 썩 많은 것 중 지극히 적은 것: 九牛一毛, 몹시 먼 나라: 九譯, 죽을 고비를 여러 번 넘김: 九死一生 등과 같이 9는 많고, 높고, 길고, 깊다는 의미 뿐 아니라 가장 크고 높은 수로서 여겨져 왔다. |
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10 |
완전한 수
10은 十干을 뜻하면서 '하나의 굽이를 넘어선 수', '하나의 매듭이 끝난 수'로 인식되고 있다. 따라서 '한 단계를 지우다', '한 굽이를 넘어서다'는 일단락의 의미를 강하게 띄는 수이다. 十年減壽, 십년 공부 나무아미타불, 十年知己, 十目, 十分, 十匙一飯, 十中八九, 십년 묵은 체중이 내린다, 십년이면 강산도 변한다, 열 일 제치다, 열 길 물속은 알아도 한 길 사람 속은 모른다, 열 번 찍어 안 넘어가는 나무 없다. |
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100 |
100은 많음을 뜻하는데 가장 일상적으로 쓰이는 관용어 중의 하나이다. 그 예로써는, 온갖 성을 가진 국민: 百姓, 여러 학자들: 百家, 모든 벼슬 아치들: 百官, 다양한·여러 가지: 百科事典, 百貨店, 百方, 百出, 百害無益, 百行, 百花, 많은: 百聞不如一見·百綠·百拜謝罪, 오래고 길다: 百年손님·百年佳約·百年大計·百年偕老 등이 있다. |
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1000 |
1000의 예에는, 멀고 길다: 천리길도 한 걸음부터·他鄕千里·千里鏡·千里眼, 오랜 세월·영원: 千古不滅·千秋, 비싼 값·많은 돈: 千金·千金駿馬 등이 있다.
한편, 많고 다양함을 더욱 강조하기 위하여 千과 萬을 함께 써서 과장되게 표현하는 경우도 많이 있다. 예를 들면, 썩 많은 병마: 千軍萬馬, 온갖 고난과 시련: 千辛萬苦, 매우 다양함: 千差萬別· 千態萬象, 영구한 세월: 千年萬年·千秋萬古, 지극히·매우: 千萬多幸·千萬뜻밖·千不當萬不當·千萬의 말씀 등이 있다. |
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완전수 |
자기 자신 이외의 약수의 합의 합이 자신과 같아 지는 수.
예: 6(=1+2+3), 28(=1+2+4+7+14), 496 등 |
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부족수 |
자신을 제외한 약수의 합이 자신보다 작아 지는 수.
예: 2(>1), 3(>1), 4(>1+2), 등등 |
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과잉수 |
자신을 제외한 약수의 합이 자신보다 커지는 수.
예 : 12(<1+2+3+4+6), 등등 |
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친화수 |
서로 다른 두 수의 각 약수의 합이 상대방의 수가 되는 수
예: 220의 약수 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110의 합은 284
284의 약수 1,2,4,71,142의 합은 220이다. |
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삼각수 |
일정한 크기의 동그라미를 정삼각형 꼴로 늘어서게 하여 나타낼 수 있는 수
예: 1=(1), 3(=1+2), 6(=1+2+3), 10(=1+2+3+4), 15(=1+2+3+4+5), 등등 |
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사각수 |
일정한 크기의 동그라미를 정사각형 꼴로 늘어서게 하여 나타낼 수 있는 수
예: 1(=1×1), 4(=2×2=1+3), 9=(3×3=1+3+5), 16(=4×4=1+3+5+7), 등등 |
1). 쌍동이 솟수는 무한히 많은가?
차가 2인 다음과 같은 솟수의 쌍을 쌍둥이 솟수라 한다.
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (59, 61), (71,73)
지금까지는 쌍둥이 솟수는 위의 8가지밖에 없다. 그러나 무한히 많은지, 그렇지
않은지에 대한 확실한 답을 제시한 사람은 없다.
2). 솟수의 수열을 나타내는 일반항은 없을까?
다음은 명문대학 수석 합격자 8명의 설문조사 결과이다.
★ 끈질기게 추리해 나가는 인내력만이
★ 계획적인 학습과 답안 작성을 정확히
★ 종합적인 응용력을 기르도록
★ 수학은 기초가 튼튼해야
★ 기본 원리를 알고 문제를 접하도록
★ 참고서는 자신에게 맞는 하나만으로
★ 끈기를 가지고 반복해서 도전하도록
★ 친구들이 물어보는 문제를 풀어보도록
참고도서 : 수학을 잘하는 길 (최계호/대완도서출판사/1990.2.5)
1. 수업 시간에 선생님의 설명을 들을 때에는 그 내용 전부를 필기할 필요가 없다.
그보다는 선생님이 강조하는 중요한 점, 또는 자신이 강한 인상을 받은 대목, 의문점은 반드시 기록한다.
기록할 시간이 없으면 교과서에 표시해 두어라. 항상 수업에 귀 기울이는 것을 잊지 말아라.
2. 집에 돌아와서 다시 노트를 정리하면 학습의 95%는 완성된다. 노트는 수업용과 가정용이 있으면 좋겠다.
3. 노트는 되도록 얇은 것을 쓰도록 한다. 왜냐하면 한 권을 다 썼다는 성취감을 맛보기 위해서이다.
4. 각 단원 내용을 크고 넓게 파악할 수 있기 위해 노트는 입체적으로 기입한다.
즉 중요한 것, 중심적인 것은 큰 글자로 쓰고, 또 〈 〉, 《 》, 【 】등으로 분류하여 주의할 사항, 공식, 힌트 등을 구별하여라.
색깔로 구별하는 방법도 아울러 사용하여라. 각 단원마다 앞 뒤 단원과의 연결 고리를 명시한다.
참고도서 : 김용운, 김용국 교수의 수학 클리닉 (김용운,김용국/김영사/1997.3.5)
* 첫 번째 단계
(문제1) 풀었다.
(문제2) 풀었다.
(문제3) 5∼10분 집중적으로 생각해도 풀 수 없다.
그래서 (문제3)이라는 번호에 색연필로 ○표를 해둔다. 다음 (문제4)로 넘어간다.
이와 같이 매 장마다 계속해 나간다.
5∼10분으로 해결할 수 없는 것들을 뒤로 돌리고 할 수 있는 것부터 먼저 하는 것이 진도가 빠를뿐더러 성과도 오르는 것이다.
풀지 못한 문제에 대해서는 집중적으로 한참 생각한 후 더 이상 신경을 쓰지 않는 것이 성공의 비결이다.
이런 식으로 그 장의 문제를 일단 전부 훑어본다.
* 두 번째 단계
첫 번째 단계에서 색연필로 ○표해 둔 문제만을 골라서 푼다.
이 때에도 또다시 5∼10분간 집중을 한다.
그래도 쉽게 생각이 떠오르지 않는 수가 있다.
그러나 일단 본 것들이므로 표시해 둔 것의 전부는 풀지 못해도 상당 부분은 해결할 수 있을 것이다.
한 번은 본 문제이고 다른 것들은 이미 풀었다는 사실이 얼마나 큰 힘이 되는가 실감할 것이다.
두 번째의 도전에서 해결할 수 없으면 또 색연필로 ◎표시를 해둔다.
* 세 번째 단계
똑같이 반복해도 해결이 되지 않으면 ⊙의 표시를 한다.
이럴 때마다 조심할 것은 일단 보류했다는 사실에 대해서는 전혀 구애받지 말아야 한다는 것이다.
⊙표가 붙은 문제에 대해서는 약간 각도를 달리 해보는 것이 좋다.
* 네 번째 단계
⊙표가 붙은 문제를 공격하는 단계이다. 먼저, 문제의 뜻을 잘못 파악하지나 않았는지, 빠뜨린 조건은 없는지 다시 살펴본다.
그리하여 지금까지와는 다른 각도에서 문제에 도전한다. 그러다 보면 반드시 출구를 알리는 파란빛이 보인다.
참고도서 : 김용운, 김용국 교수의 수학 클리닉 (김용운,김용국/김영사/1997.3.5)
♥ 오승은 : 1980년 서울에서 태어나 신동초등학교와 신동중학교를 나왔다.
과학자가 되어 좋아하는 공부를 마음껏 하고 싶어 들어간 한성과학고등학교에서는 3년간 한번만 빼고 1등 자리를 지켰다.
대학수학능력시험에서 사상 최초 400점 만점 획득이라는 기록을 세워 세간의 조명을 받으며 서울대학교 자연과학부에 진학. 좋아하는 과목은 수학과 물리.
♥ 공부는 왜 할까? : 한번 맛들이면 이것도 할 만하고 보람있고 나름대로 재미도 있다.
♥ 나의 학기 중의 일과 : 주중에는 몸바쳐 학교 수업을 따라갔다.
나는 뭐든지 속도가 느린 편이라 남들이 세 시간 걸려 쓰는 보고서도 다섯 시간 정도 걸리고, 이틀 정도 투자해서 짜는 프로그램도 일주일이 걸렸다.
당연히 바빴다. 하지만 무엇보다도 재미있었고, 느려도 시간을 많이 투자해 익히는 것이 유익했다고 자위하고 있다.
평소에는 거의 모든 과목을 수업 참여를 통하여 공부했다. 수업 발표나 그 준비 과정, 숙제, 실험, 보고서 쓰기 등이 힘들긴 했지만 공부가 됐다.
시험을 남들보다 조금 일찍 준비하는 셈치고 반학기마다 배운 것을 총정리했다.
♥ 주말 보내기 : 토요일에 집에 오면 네다섯 시부터 잔다.
다음날까지 자기도 하고, 주말에 학원을 다닐 때에는 학원 가기 전까지 자고 갔다 와서 늦게 자게 되는데 어쨌든 일요일에 늦게까지 잔다.
일요일 오후가 되면 다시 월요일 수업준비로 바빠지고... 주말이 잠으로 몸 푸는 날이긴 했지만 특별히 기분 전환이 되는 것 같지는 않았다.
간혹 6일 만에 기숙사에서 집에 와보면 어머니께서 맛있는 요리를 해놓으셨거나 오빠가 새 책을 빌려다 놓고 있다. 그 정도가 기분 전환 거리가 된다.
♥ 교과서와 참고서 외에 도움이 된 책들 : 대중적인 수학 책들은 주로 중학교 때 읽었는데 재미있게 보았다.
공부에 도움이 된 책들도 많다.
'현대 수학의 여행자', '재미있는 수학 여행' 1-4권, 만화로 된 '교실 밖의 수학' 1-6권, '위상기하학'과 '프랙탈', '70일간의 수학 여행', '수학과의 만남',
'재미있는 이야기 수학', '평면인이 보내는 편지' 등등.
♥ 방학중의 계획과 일과 : 방학 시작할 때 목표를 분명히 세운다(다소 적은 듯하게).
어느 정도 놀고 어느 정도 여타 활동을 하고(봉사, 서클...) 어느 정도 공부할 지를 마음먹고, 방학중에 그 생각을 염두에 두고 생활을 조절한다.
매일의 계획을 세우고 지키는 게 힘이 들면 일주일 단위로 할 일을 배정한다.
가장 중요한 것은 중간에 몇 번 계획대로 안 되는 때가 있어도 긍정적으로 생각하고 가뿐한 마음으로 남은 방학 생활을 성실히 해 나갈 것이라 생각하는 것이다.
사실 나도 계획을 잘 지키는 편은 아니었다.
1,2학년 여름방학에는 과학 탐구로, 1학년 겨울방학에는 문집에 기고할 글쓰는 일로 무척 바빴다.
계획이 다소 어그러져도 끝까지 포기하지 않는 마음이 중요하다. 그러고도 정 공부가 안되면 쉰다. 얼마 안가 공부해야겠다는 생각이 든다.
♥ 기분 전환 5대 비법 : 잔다.
돌아다닌다.
음악 듣는다.
친구를 만난다.
노래방에 간다.
♥ 싫은 과목을 공부하기 위해서는 1 : (공부하고 있는 도중에) 교과서를 음미한다.
즉 왜 나는 이러한 것을 외워야 하는가 고민해 본다.
내가 이것을 알면 앞으로의 인생에 어떤 영향이 있을지 생각한다.
교과서를 쓴 사람이 내가 이러한 것들로부터 무엇을 깨닫기를 원하는지 생각한다.
중요 : 이런 생각을 하면서 공부한다. 이런 생각을 하면서 공부를 안하면 말짱 헛거다.
♥ 싫은 과목을 공부하기 위해서는 2 : (시험기간에) 시험을 다 맞고 싶다고 생각한다.
눈앞에 있는 어떤 학습할 내용을 보면서
<내가 이것에 조금 더 관심을 기울이고 생각을 더 해보는 수고로, 이 내용이 시험에 나왔을 때 정답을 맞출 수 있다면 그것도 해볼 만하지 않은가> 하고 생각한다.
♥ 싫은 과목을 공부하기 위해서는 3 : (평소에) 취미가 이과 계통이라 나도 모르는 사이에 영어 공부를 소홀히 해서 안되겠다 싶었다.
대책은 재미없어도 참고 꼭 수업을 듣는다.
싫다고 수업까지 안 들으면 돌이킬 수 없는 사태에 이를 수도 있다.
잤더라도 수업 놓친 부분은 끝난 바로 다음 쉬는 시간에(깨어났다면--;) 읽어보기라도 한다.
그리고 물론 시험기간이 되기 전에, 되도록 다음 수업 이전에, 친구 필기를 빌려 적어둔다.
♥ 싫은 과목을 해결하기 위해서는 : 꼭 추천하고 싶지는 않지만 최후의 수단이 있다. -> 공부 안 해오면 패는 학원을 수강하고 성실히 출석한다.
♥ 수험생과 잠 : 자야겠다고 생각되면 잔다. 자면 안되겠다고 생각되면 자지 않으려고 한다.
물론 자면 안되겠다고 생각해서 잠이 다 달아나지는 않는다.-_-;
전날 밤늦게 작업해서 피곤하면 수업 시간에 좀 졸면서 버티고(oO;), 야간 자율학습 1,2교시 정도를 자곤 했다(*^_^*).
우리 학교 같은 경우 수업 시간에 졸리면 알아서 깨려고 노력하는 게 교풍이었다.
조용히 밖에 나가 세수를 하고 오거나 뒤에 나가서 맨손체조를 하고 들어오거나, 아주 뒤에 서서 수업을 듣는 게 허용되었다. 다 그런 건 아니겠지...
♥ 문제를 풀다가 막힌다! : 수학 문제라면 풀릴 때까지 붙들고 늘어진다.
시간이 많으면 답이 나올 때까지 고민하고, 시간이 적으면 제일 나중으로 미룬다.
문제가 요구하는 것이 무엇인지, 배운 내용 중 무엇과 관련이 될지, 조건을 빠뜨리지 않았는지, 다른 접근 방법이 있는지 생각한다.
♥ 어떻게 공부할 것인가? : 성실히 공부한다. 방법은 각자 다르지. 이것이 정도라고 할 만한 것은 성실히 한다는 것뿐.
♥ 수학 공부 개인사 : 난 초등학교 때부터 수학을 좋아했다.
용돈을 모아 수학 책도 사보고(스무 권이 넘는다, 물론 다 이해한 건 아니지만 수학적 견문을 넓히는 데 매우 유용하다),
부모님께 수학 학원에서 배워보고 싶다고 졸랐다. (그럼에도 불구하고 올림피아드 공부를 못해본 게 한이다 T_T 불쌍해)
고등학교 1, 2학년 때도 일주일에 한 번 꼴로 학원을 다니면서 수학 예습을 했다... 난, 그냥 수학을 공부하고 싶었을 뿐이다. -_-;
♥ 수학은 재미있을까? : 재미있다. 내가 제일 좋아하는 파트는 복소수, 벡터, 공간도형, 공간도형의 방정식, 1차변환이다.
♥ 평상시의 수학 공부 : 평소 연관된 단원들을 몰아서 한다.
조금씩 해서는 통하지 않는다.
그러니까 <이번 주는 삼각함수와 복소수를 마스터하자!> 하고 집중해서 한꺼번에 끝내는 식이다.
처음 공부할 때는 문제를 최대한 여러 가지 방법으로 여러 번 풀어본다.
또 문제에서 주어진 수학적 상황을 꼭 정답에 관련된 게 아니더라도 수학적으로 이리 뒤집고 저리 뒤집어 음미한다.
그러면 나중에 시간 내로 문제를 풀어야 할 때 빠른 방법을 선택해 풀 수 있게 된다.
♥ 수학 공부를 위해서 따로 노력한 사항 : 특별히 남들이 모르는 매체를 이용하거나 한 것은 없지만
도형 작도 프로그램인 GSP(Geometer's SketchPad)로 여러 가지 그림을 그려보곤 했다(2차 곡선을 그린다든가 타원을 만들어 본다든가).
가끔은 수학 퍼즐도 했다.
♥ 3학년의 운용 계획 : 자신에게 맞는 수능 대비책을 찾는 데는 상당한 시행 착오를 겪을 수도 있다.
선생님이나 선배, 친구의 조언을 듣는 것도 중요하지만 결국 스스로 판단해야 한다.
2학년 기말고사 끝나고부터 앞으로의 1년을 어떻게 운용할지를 생각해 둔다.
내 경우엔 2학년 겨울방학 때 사탐과 언어 영역이 부족하다고 생각하여 나름대로 계획을 짜고 자습도 하고 보충도 듣고 학원도 청강하고 오답 노트도 만들고...
어떤 방법인지보다는 얼마나 성실하게 열심히 공부하느냐가 중요하다.
♥ 좋든 싫든 열심히 : 수학 정복의 길잡이 : 수학을 좋아한다면 좋아서, 싫어한다면 참고 일단 기본 문제를 숙지해야 한다.
실력 향상=노력과 시간의 투자. 문제집이나 기타 교재는 <마음에 드는 것>을 선택한다. 일단 기분이 좋아야 공부도 쉬워진다.
♥ 공부하기로 결심 : 초등학교 때, 처음엔 재미있는 공부를 주로 했는데 몇 가지 공부에 재미를 붙이니까 다른 것도 해보게 되더라.
물론 난 시작부터 좋아하는 공부가 많았다.
지금이야 그걸 공부라고 이름 붙이지만 그 때로 치면 책 읽고 노는 것과 크게 다르지 않았다고 생각한다.
초등학교 고학년을 지내면서 공부가 너무너무 좋아서 또는 하고 싶어서, 중학교 가면 아깝게 딴 짓 하면서 시간 보내지 말고 공부만 하면 좋겠다고 생각했다.
물론 뜻대로 되지는 않아서 공부만 하지는 않았지만 나름대로 열심히 재미있게 공부했다.
지금 기억하기로는 위대한 수학자나 과학자들에 대해 읽고서는 그렇게 되고 싶다고 생각했던 게 주요인이었던 것 같다.
♥ 3년간 수학 공부의 스케줄 : 나는 2학년 때 일단 수학을 다 끝내고 3학년 때는 복습하고 점검하는 기분으로 점심시간이나 저녁시간 등을 이용해 문제집을 풀었다.
답을 표시하지 않고 풀어서 특별히 주의해야겠다고 생각한 문제나 틀린 문제는 포스트잇 조각을 붙여두고,
한 단원마다 모아서 다시 푼 다음 실수하는 항목을 문제집 속표지나 내용 차례 옆에 적어둔다. 그걸 시험 때 훑어본다.
3학년 때의 수학 공부는, 수학 시간에 자습을 주면 수학만 푸는 걸로 했다.
♥ 내가 파악한 수학 공략의 핵심 : 이해한다(understand), 적용한다(application), 연습한다(drill)
♥ 존경하는 사람? 라이벌? : 존경하는 사람은 많다. 주위 사람을 보면 모두 몇 가지씩 존경할 점을 찾을 수 있다.
꼭 완벽한 인간만이 존경을 받는 건 아니라고 생각하니까.
늘 긍정적인 사람, 매사에 진지한 사람, 실력 있고 늘 연구하는 사람, 착한 사람...
물론 유명한 사람 가운데 존경하는 인물도 많고 부모님, 선생님, 친구들도 각기 존경받을 만하다고 생각한다.
라이벌이라면 역시 공부하는 학생이다 보니 <친구들과 경쟁하고 있다>고 현실이 인식될 때가 있다.
그리고 어떤 분야에서든지 나보다 뛰어난 친구를 보면 부럽고 나도 그렇게 잘하고 싶다는 생각이 든다.
예를 들어 수학이나 물리 올림피아드 나가는 아이들이 제일 부럽고, 창조적 아이디어를 가진 친구가 하나 있는데 가끔 그 애의 생각에 경탄하게 되는데 그 애가 참 부럽다.
주도적 성격을 가진 사람도 부럽고, 뭐 그런 식이다. 어떤 점이 존경스럽고 부럽다고 생각되면 닮으려고 노력한다. 아무래도 극적 요소를 갖춘 <라이벌>은 없는 듯 하다.
참고도서 : 수능 최초 400점 만점 오승은의 수능노트 공통수학, 수학1, 수학2 (오승은/사이언스북스/1999)
1. 정의(定義;Definition)를 철저히 지켜라.
이 정의 부분을 어떤 학생이 "왜 그렇게 하느냐?" 또는 "증명해 보아라"라고 한다면 더 이상 수학 공부를 할 수가 없다.
정의는 세계 어느 곳에서나 통용되는 약속이기에 받아들여야 하는 것이다.
이와 같은 것으로서 기하학에서 사용하는 용어로 공리(公理;Axiom)라는 것이 있다. 이것도 증명없이 받아들이는 것이다.
그러나 정리(定理;Theorem) 등은 반드시 증명해야 하는 경우이다.
2. 성질을 파악하여라.
수학에는 여러 가지 성질이 존재한다. 이 성질이 정착하면 공식도 될 수 있고 정리도 될 수 있다. 그래서 이 성질을 발견해 놓고 거꾸로 증명해 보라고 할 때도 있다.
수학 문제를 푸는 데 있어서 정답은 하나이지만, 방법은 여러 가지 있을 수 있으므로 이미 배운 여러 가지 성질을 이용해야 풀 수가 있다.
그러므로 이러한 성질을 잘 파악하여 암기해 놓아야 한다. 구체적인 예를 들자면, '지름에 대한 원주각은 90°이다.', '맞꼭지각은 같다.' , …등이다.
3. 공식을 정확히 이해하고 외워라.
'영어' 하면 단어, '수학' 하면 공식이다.
영어 단어도 하나로서는 생명력을 잃고 문장과 더불어 단어를 알고 있어야 산 단어, 산 영어가 되듯이, 수학 공식도 의미 없이 암기만 한다고 되는 것은 아니고
그 배경과 문제와 더불어 암기해야 한다.
수학은 암기 과목이 아니라 이해 과목이라고 흔히 말하는데, 이것이 전혀 암기하지 않아도 된다는 말은 아니다.
아무리 이해된다 하더라도 암기되어 있지 않은 공식은 죽은 공식이 되어버린다. 정확히 이해하여 암기해 놓아야 문제를 풀 때 적재 적소에서 사용할 수가 있다.
4. 법칙은 법칙이다. 지켜라.
수학적 법칙은 세계 어느 나라에서도 통용된다. 새로운 법칙은 발명하는 것이 아니라 발견하는 것이다.
구체적인 예를 들자면, 연산법칙(교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 드 모르간의 법칙), 지수 법칙, … 등이다.
5. 정리를 증명해 보아라.
배운 모든 정리는 완벽하게 증명할 수 있도록 실력이 쌓여 있으면 더 바랄 것은 없지만 증명이 조금 부족해도 정리된 그 결과만은 반드시 외워 두어야 한다.
그래야만 다음에 나오는 문제들을 정리를 이용해서 풀 수 있을 뿐 아니라, 수학에 흥미를 잃지 않기 때문이다.
구체적인 예를 들자면, 나머지 정리, 인수 정리, 이항 정리, 덧셈 정리, 곱셈 정리, 평균값 정리, …등이다.
6. 수학적 용어를 유심히 관찰하여라.
수학 공부에서는 처음에 새로운 용어들을 배우게 되는데 빨리 그 용어의 이름과 특성을 파악해야 한다.
참고도서 : 수학을 잘하는 길 (최계호/대완도서출판사/1990.2.5)
수학에 이상적인 인간형은 '세심한 사람이면서 조심스럽고 대범한 사람'이라는 말이 있다.
필요 이상 꼼꼼한 것은 문제의 본질을 잘못 보기가 쉽고 오히려 중요한 핵심을 간과하기 일쑤이다.
수학을 통해 얻어지는 '대범'한 성격이란 세심하면서도 대국적인 면을 통찰할 수 있는 능력이다.
<유형1 : 소극형>
수학에 소극적이다 → 수학에 흥미가 없다 → 수학 문제를 덜렁덜렁 해치운다 → 수학은 지겹다는 생각이 든다
→ 수학에는 특별한 소질이 필요하다고 생각한다 → 수학 성적이 떨어진다
<유형2 : 적극형>
수학에 적극적이다 → 수학에 흥미가 생긴다 → 수학 문제에 집중할 수 있고 꼼꼼하게 풀게 된다
→ 수학의 참맛을 알게 된다 → 수학은 누구나 잘 할 수 있는 학문이라고 생각한다
참고도서 : 김용운, 김용국 교수의 수학 클리닉 (김용운,김용국/김영사/1997.3.5)
미국의 몇몇 수학자와 심리학자들이 모여 "수학에 필요한 소질은 무엇인가?"라는 문제를 두고 토의한 끝에 다음과 같은 결론을 얻었다.
즉, 다음 4가지 능력만 있다면 필드상(수학의 노벨상) 정도는 보장할 수 없어도 고교 수준(대학 입시)의 수학은 충분히 해낼 수 있다는 것이다.
그러나 반드시 본인의 노력이 있어야 한다.
1. 자신의 신발장에 신을 어김없이 넣을 수 있는 능력
이 말은 두 가지 의미가 있다. 첫째는 '간단한 일에 실수하지 않는다.'는 것이고, 둘째는 수학의 가장 기본적인 생각 중 하나인 '1대 1 대응'을 할 수 있다는 것이다.
2. 요리 책의 설명대로 요리를 만드는 능력
아무리 어렵다는 수학도 반드시 순서와 일정한 방법으로 해낼 수 있으므로 순서에 따라 요리를 만드는 능력과 하등 다를 것이 없다.
3. 사전에서 단어를 찾는 능력
영어 사전(한글 사전)을 이용한다는 것은 이미 수준 높은 26진법(28진법)의 대소 관계, 또는 순서 관계를 충분히 이해하고 있다는 것과도 같다.
4. 간단한 지도를 그릴 수 있는 능력
지도를 그릴 수 있다는 것은 추상 능력이 있는가의 문제이다.
참고도서 : 김용운, 김용국 교수의 수학 클리닉 (김용운,김용국/김영사/1997.3.5)
1. 수학이 어렵다는 생각
2. 수학이 불필요하다는 생각
3. 수학은 선생님으로부터만 배운다는 생각
4. 무턱대고 공부해도 된다는 생각
5. 모로 가도 답만 찾으면 된다는 생각
참고도서 : 김용운, 김용국 교수의 수학 클리닉 (김용운,김용국/김영사/1997.3.5)
다음은 수학을 싫어하는 이유의 설문조사 결과이다.
◆ 공부하다가 딴 생각 때문에
◆ 기초가 없어 아는 것이 없으므로
◆ 너무 딱딱한 수업이 싫어서
◆ 다른 학교로 전학을 하다 보니
◆ 단원이 바뀌면서
◆ 등한시해 왔기 때문에
◆ 며칠 결석하다 보니
◆ 모르는 것이 있을 때 질문할 용기가 없어서
◆ 문제가 풀리지 않고 모르는 것에 부딪칠 때
◆ 미루다 보니
◆ 선생님의 지나친 꾸중이 싫어서
◆ 선생님이 너무 무서워서
◆ 선입견부터
◆ 수업을 제대로 못받고 운동을 하다 보니
◆ 수학 성적이 잘 나오지 않아서
◆ 수학을 왜 배워야만 하는지 이유를 몰라서
◆ 틀에 박힌 듯한 수업이 싫어서
◆ 학년이 바뀌면서
◆ 휴학 및 장기 결석을 하다 보니
참고도서 : 수학을 잘하는 길 (최계호/대완도서출판사/1990.2.5)
다음은 수학을 좋아하는 이유의 설문조사 결과이다.
■기초 보완으로
■선생님의 영향으로
■선생님이 잘 이해할 수 있도록 가르쳐 주므로
■수학 점수를 잘 받으니
■수학을 가까이 하다 보니
■수학의 논리성에
■어려운 문제를 풀었을 때 해결의 기쁨이
참고도서 : 수학을 잘하는 길 (최계호/대완도서출판사/1990.2.5)
1. 토막 공부법 : 수학 공부를 한입에 들어갈 정도의 크기(즉, 단숨에 할 수 있는 정도)로 토막을 내어라.
처음부터 학습량을 적게 하고 마음을 편안히 먹는 것이다.
교과서, 참고서 같으면 간단한 단원, 그 속에서도 짧은 공식과 정의로 나누어서 그 부분만을 공부한다.
2. 상(賞) 이용법 : 공부한 만큼의 상을 받도록 스스로 정한다. 가령 15분간 집중적으로 공부하면 음료수를 한잔 마실 수 있다.
30분 집중했을 때에는 과자를 먹어도 좋다. 한 시간 공부했을 때에는 가까운 친구와 잠깐 전화를 한다는 식으로 자신에게 상을 주는 것이다.
3. 자명종 이용법 : 자명종을 15분, 또는 20분 정도의 간격으로 맞추어 놓는다.
겨우 15분 내지 20분 동안이라면 편안한 마음으로 책상 앞에 앉아 있을 수 있다. 시간이 지나 종소리가 나면 연장할 것인지를 결정한다.
4. 구체적 목표 설정법 : 수학에는 많은 분야가 있다.
우선 그 중 한 분야만이라도 '도사'가 되는 것을 목적으로 한다. 한 분야를 성취할 수 있으면 그 다음에는 또 다른 하나의 분야를 선택한다.
이 때, 목표는 현재 나의 실력을 감안해서 약간 싱겁다 싶을 정도로 충분히 가능한 범위에서만 세워야 한다.
참고도서 : 김용운, 김용국 교수의 수학 클리닉 (김용운,김용국/김영사/1997.3.5)
일단 수학에 낙오가 되었다 하더라도 마음만 먹으면 단시일 내에 회복할 수 있다. 즉, 순서를 지키면서 공부하면 되는 것이다.
그러니 결코 포기해서는 안된다. 낙오된 학생이 스스로 초등학교 수학에서 시작해 단시일 내에 남 못지 않은 실력을 갖추었다는 이야기를 자주 듣는다.
그런 경우의 학습은 수학을 재정비한 결과이므로, 오히려 보통의 학생들보다 훨씬 자신감 있게 공부할 수 있다.
자신감의 상실 못지 않게 수학 공부에 가장 나쁜 것은 과장된 억지를 부리는 일이다.
"나는 머리가 좋은데, 나는 줄곧 모두로부터 칭찬을 받아 왔는데..." 하며 스스로의 약점, 다시 말해서 수학의 계단을 잘못 밟아 온 사실에 눈감아 버리면 안된다.
1. 일단 교과서의 내용을 처음부터 끝까지 대강 훑어본다. 그러다가 어려운 표현이나 이해 안되는 대목이 나오면 밑줄 표시를 하고 그냥 넘어간다.
이것은 전체의 윤곽을 파악하기 위해서이다.
2. 다시 교과서를 처음부터 펼치면서 특히 밑줄을 그었던 부분에 주의해서 읽어 나간다. 이번에는 <예제>를 빠짐없이 다룬다.
이해 안되는 대목이 있으면 몇 번이고 시도해 본다. 느긋한 마음으로 말이다.
3. 이렇게 해서 <예제>의 풀이를 모두 이해했으면 뒷동산에라도 혼자 올라가서 실컷 외쳐 보아라.
"난 이제 자신 있다"라고 말이다.
자신감이 생기면 수학에 대한 재미가 생기고, 그러다 보면 이 쾌감 때문에 문제를 자꾸 풀어보고 싶어진다.
4. 이제, 문제 속에 숨어있는 '열쇠'를 찾아라. 겉보기는 아무리 험하게 생겼다 하더라도 사실은 이미 다루어 본 내용들인 셈이다.
5. 그래도 잘 풀리지 않는 문제는 '숙제'로 아껴 두었다가 목욕할 때, 잠자리에 들 때, 길을 걸을 때나, 지하철이나 버스를 탈 때
어디에서 막히고 어디를 애매한 상태로 두었는지 떠올려 본다.
6. 거북이 걸음으로 공부하다가 남들과의 거리가 자꾸자꾸 멀어지고 마는 게 아닐까 하고 조바심을 낼 필요가 없다.
일단 이해가 되면 가속도가 붙어서 그 후론 빨리 따라잡을 수 있다.
불안이나 걱정은 머리의 활동을 정지시켜 버린다는 것을 명심하기 바란다.
참고도서 : 김용운, 김용국 교수의 수학 클리닉 (김용운,김용국/김영사/1997.3.5)
대수학(代數學 ; Algebra)
초보적인 뜻으로는, 숫자에 의해서 하나 하나의 수를 나타내는 대신 문자에 의해서 일반적인 수를 대표시켜, 수의 관계, 수의 성질, 수 계산의 법칙 등을 연구하는 수학을 가리킨다.
이와 같은 학문은 이미 그리이스의 디오판토스의 산술서에서 형성되고, 프랑스의 비에트에 이르러 그의 기호적인 취급도 일단 완성시켰다고 한다.
그러나, 산법 이론의 본질이 그 대상물에 있는 것이 아니고 산법의 법칙에 있다는 데 착안해서 확립한 행겔의 복소수론(1867)은 수 확장의 근본 원리인 형식 불변의 원리를 기본으로 해서, 대수학의 새로운 지도 원리를 제시하였다.
원래 대수학은 방정식의 해법 연구를 중심으로 하고 있었으나, 19세기 이후는 칸토르의 집합론, 프로베니우스에 의한 행렬이나 군의 기호적 취급, 슈타이니쯔의 체(체)론(1910)과 차츰 추상적, 공리적인 형태로 되어 있다.
오늘날에는 군(群), 환(環), 체(체), 다원환(多元環) 등을 포함한 추상 대수학이 그 주체가 되었다.
여기서는 어떤 결합이 정의된 추상적 원의 집합, 즉 대수계가 연구대상이 되어 있다.
해석학(解析學 ; Analysis)
미분적분학, 미분방정식론, 적분방정식론, 변분학, 실함수론(실변수함수론), 복소함수론(복소변수함수론) 및 그것에 이어지는 여러 분과를 통털어서 해석학이라고 한다.
기하학(幾何學 ; Geometry)
기하학은 도형의 성질을 논하는 학문으로서 일어났다.
원시적인 기하학은 이미 기원전 2500년경부터 시작되었으며 바빌로니아, 이집트, 그리이스를 통하여 차츰 발전되었다.
기원전 300년경 유클리드가 그 이전에 연구된 기하학의 지식을 정리하여 불후의 명저 「기하학 원론」을 완성하였으나 그것은 후세까지 기하학의 성전으로 추앙되고 있었다. 그러나 평행선의 공리의 반성에서 비유클리드 기하학이 일어나고 한쪽에서 데카르트의 해석기하학, 더욱 18세기에 있어서의 사영기하학의 수립으로 기하학은 차츰 내용적으로도 방법적으로도 그 범위를 확대하였다. 또 18세기에 일어난 미분, 적분학에 기초를 두고 계통화된 곡면론은 이윽고 리만 기하학으로서 일대 비약을 하였고, 일반적인 접속 기하학으로서 완성되게 되었다. 이는 금세기 초기에 있어서의 카르탄, 스카우텐, 베브렌들을 중심으로 하는 연구에 의한 것이나, 한편에서는 아인슈타인의 상대성 이론으로부터의 자극도 컸다.
지금에 와서는 위상수학, 대수학, 해석학하고도 관련되며 더욱 다양체의 연구라는 보다 더 넓은 방향으로 나아가고 있다.
위상 수학(位相數學 ; Topology)
토폴로지라고도 한다.
위상 수학이란 위상이 주어진 공간에서의 집합론적인 연구, 다면체로서의 위상 불변성, 해석학적인 연구 등을 하는 수학을 말한다.
그 내용을 대별하면 집합론적 위상 수학(집합론적 위상 기하학), 대수적 위상 기하학, 위상 해석학 등이 된다.
위상 수학은 대수, 기하, 해석의 모든 분야에 침투하고 있는 현대의 가장 광범위한 수학이다.
참고도서 : 최신 수학 사전 (한국사전연구원/1989.2.15)
G. 폴리아는 명저 「어떻게 문제를 풀 것인가」 중에서 다음과 같이 충고하고 있다.
첫째, 문제를 실감 있게 파악하기 위해 살아있는 현실의 문제를 생각하여야 한다.
둘째, 항상 "나라면 어떻게 할까?"를 마음에 두고 생각해야 한다. 교과서나 참고서에 실린 '남'의 생각을 기억해 내려고 애쓸 필요는 없다.
그런 것은 일시적인 편법에 지나지 않는다. 중요한 것은 '내 자신'의 생각이다.
셋째, 한 가지가 아니라 두 가지나 세 가지 관점에서 생각하는 습관을 몸에 배도록 해야 한다.
넷째, 우선은 세부적인 내용을 무시하고, 전체의 큰 줄기를 파악한다.
다섯째, 전체의 흐름을 파악한 다음에는 세부적인 내용에 함정이 없는지 살펴야 한다.
여섯째, 추리력을 길러야 한다. 추리력을 기른다는 것은 앞에서 이미 얻은 지식(정의나 정리 등)을 발판으로 하여 문제를 푸는 열쇠를 찾는다는 뜻이다.
참고도서 : 김용운, 김용국 교수의 수학 클리닉 (김용운,김용국/김영사/1997.3.5)
그리스의 철학자 플라톤은 스승인 소크라테스가 사형 언도를 받고 감옥에서 죽은 것에 큰 충격을 받았다.
마음을 달래고 세속을 잊기 위해 떠난, 10년 동안의 긴 여행에서 얻은 확신은 "수학(기하학)은 인간의 정신을 진리의 길로 이끌고 철학 정신을 창조하는 길잡이 구실을 한다."는 것이었다.
그는 이 믿음을 실천하기 위해 아테네 교외에 학교를 세워 학생들과 더불어 학문을 연구했다.
이 학교의 이름은 '아카데미아'였다. 아카데미아의 입구에는 "기하학을 모르는 자는 이 문 안으로 들어올 수 없다."는 현판이 걸려 있다.
오늘날 각 나라의 아카데미(학술원)는 그 정신을 이어받고 있다.
플라톤의 스승인 소크라테스는 수학이란 땅의 양도, 재산의 관리 등에 필요한 지식을 제공하는 것 정도로 생각했다.
플라톤의 위대함은 스승의 생각을 탈피해서 수학의 의의를 새롭게 확립한 데 있다.
철학적 사고를 바르게 이끌기 위해서는 바른 사고력, 곧 수학적 추리력이 필요하다.
참고도서 : 김용운, 김용국 교수의 수학 클리닉 (김용운,김용국/김영사/1997.3.5)
알렉산더 대왕은 학문에 관심이 많아서 메네쿰스를 스승으로 모시고 기하학을 공부하였다.
정치하는 틈틈이 공부를 하였기 때문에 배우는 것이 힘들고 이해도 어려웠다.
그래서 왕은 '왕의 권위로서 좀더 쉽고 빠르게 배울 방법은 없읍니까?'라고 메네쿰스에게 물었다.
그러자 메네쿰스는 " 전하, 나라에는 임금님의 전용도로가 있어서 지름길이 가능할 수 있지만, 기하학에는 왕도가 없습니다.'라고 대답하였다고 한다.
1798년 초여름, 나폴레옹은 군대를 인솔하여 이집트 원정길에 올라 피라미드 밑에서 전투가 벌어지게 되었다.
전쟁의 공포에서 불안해 하는 부하들을 격려하기 위해 ' 4000년의 역사가 여러분의 용맹을 지켜 보고 있다! 최선을 다해 싸워라' 하고 외쳤으며 드디어 그 전투에서 승리를 하였다.
나폴레옹의 부하들이 피라미드에 올라가서 구경을 하는 동안 나폴레옹은 무엇인가를 계산하기에 바빴다.
기자(지명)에 있는 3개의 큰 피라미드의 돌을 전부 합쳐서 높이 6피트, 두께 1피트의 돌담을 쌓으면 프랑스 전체를 둘러 쌀 수 있는 긴 성벽이 된다고 계산하였다.
이 계산으로 피라미드의 크기를 짐작할 수 있다. 인공위성으로 달나라에 착륙하여 지구를 보았을 때, 육안으로 보이는 구조물은 피라미드와 중국의 만리장성뿐이라 한다.
참 스핑크스의 코가 깨진 것은 그 때, 나폴레옹의 군사들이 장난으로 대포를 쏴서 코를 맞춘 탓이라 한다.
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＋ |
13세기경 레오나르도 피사노(이탈리아의 수학자)가 7 더하기 8을 '7과 8'로 썼는데, 라틴어로 '과'를 et라고 쓰는 데, 이를 줄여 ＋의 기호가 만들어졌다고 한다. |
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－ |
1489년 비드만(독일의 수학자)이 '모자란다'라는 라틴어 단어 minus의 약자에서 '-'만 따서 쓰게 되므로 생겨났다. |
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× |
처음 사용한 사람은 영국의 윌리엄 오오트렛이지만, 어떻게 하여 이런 기호가 만들어 졌는지 그 유래는 모른다. |
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÷ |
이 기호는 오랜 옛날부터 쓰여왔고, 10세기경 수학 책에는 '10 나누기÷5' 등과 같이 '나누기'라는 말도 함께 썼는데, 문자인 '나누기'를 없애고 ÷로만 쓰게 되었다. |
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〓 |
1557년 R·레코드(1510∼1558)가 쓴 《지혜의 숫돌》이라는 책에 처음 쓰였으며 그 모양은 우리가 지금 쓰는 것보다 옆으로 더 길었다. |
지금으로부터 약 2,300여년전, 그리이스 아테네에는 소피스트라고 하는 직업교사들이 시민교육에 종사하고 있었으나, 차차 타락하여 곤란한 문제와 궤변으로 사람들을 골탕먹이고 그것을 보고 좋아하는 나쁜 버릇이 생겼다. 그들이 만든 수학의 어려운 문제 중 가장 유명한 것이 작도의 3대 난제이다. 다음의 문제들을 눈금없는 자와 컴퍼스만을 사용하여 작도하는 문제이다.
1. 임의의 각을 3등분하는 것
2. 임의의 원과 면적이 같은 정사각형을 그리는 것
3. 임의의 정육면체의 부피의 두 배인 부피를 갖는 정육면체의 한 변의 길이를 작도하는 것
"배신자를 물에 처넣어라." 사람들이 큰 소리로 외쳤다.
"나는 배신자가 아니다." 히파수스도 이들에 맞서 소리를 질렀다.
"히파수스, 너는 피타고라스학파의 맹세를 했었고, 지금 그것을 깨뜨린 것이다." 무리 중의 지도자가 선언하였다.
"나는 분수로는 나타낼 수 없는 수(무리수)가 존재한다는 놀라운 사실을 증명하였다. 너희는 이것을 비밀로 하라고 요구하는 것인가? 너희는 지금 나의 지식과 진리를 억압하는 것이다." 히파수스는 단호하게 말하였다.
"그것은 수가 아니라고 우리가 주장하는 것을 너도 알지 않느냐?" 지도자가 응답하였다."
 는 수이다. 이것은 측량할 때 사용되는 수가 아닌가? 는 특수한 길이를 나타낸다. 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 정확히 표현할 수 있는 다른 수가 있는가?" 히파수스가 주장하였다.
선상의 피타고라스 학파의 무리는 점점 더 분노하기 시작하였다. 진실이 그들을 흔들기 시작하였던 것이다. 갑자기, 그들은 고함을 치면서 움직이기 시작하였다.
모든 일은 순식간에 벌어졌다. 아무도 폭도들의 행위를 중단시킬 수 없었다. "그를 물 속에 처넣어라". 그들은 고함을 치면서 감출 수 없는 사실을 감추고자 노력하였다.
=1.4147.... 그들은 히파수스를 잡아서 갑판에서 죽음으로 던져버렸다.
바다를 항해하는 중에 히파수스는 에 대한 비밀을 폭로하려 하였다는 이유로 배 위의 군중들의 분노를 샀다. 그리고 그들은 "배신자"를 처형하였다.
***
진실을 은폐하는 일이 워터게이트 사건이나 이란콘트라 사건처럼 20세기에 들어와 자주 발생하는 현상처럼 느껴지지만, 역사적으로는 많은 다른 예가 있다.
수학에도 이런 은폐된 사실이 존재할 것이라고 누가 생각했겠는가?
왜 이들은 새로운 수의 발견을 감추려고 하였는가 ?
히파수스의 증명이 있기 전까지 모든 피타고라스 학파 사람들은 정수와 정수의 비로 모든 기하적인 대상을 표현할 수 있다고 믿고 있었다.
비록 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 나타낼 수 있는 1)분수를 아무도 찾지는 못하였어도, 그들이 아직 찾지 못한 어떤 정수의 비가 존재할 거라는 믿음이 있었다.
피타고라스 학파는 다른 수의 존재의 필요성을 받아들이려 하지 않았다.
따라서 히파수스가 정사각형의 대각선을 표현할 수 있는 어떤 다른 수도 존재하지 않음을 보이자 그들은 혼란에 빠졌고, 대각선의 길이를 근사적으로 나타내려 하였다.
실제로, 그들은 는 수가 아니라고 주장하였다.
수학은 그들의 삶에서 아주 특별한 것이었다.
수학은 그들의 전체적인 믿음체계에 영향을 주는 생활의 철학이었다.
그들의 믿음은 '만물은 수(All is number)'라는 것이었다. 그들에게 우주의 근본은 수이며 특히 정수와 이들의 비(분수)로 모든 것을 나타낼 수 있다고 믿었다.
피타고라스 학파는 정수와 분수를 이용하여 사람이나 음악 등을 표현하였다.
모든 정수는 1을 유한 번 더하여 얻어지므로 1은 모든 수의 신성한 창조자이었다.
2는 첫번째 짝수로서 여성(음)을 상징하는 수로 다양한 의미와 연관되어 사용되었다.
3은 남성(양)을 상징하는 첫번째 수로 1과 2의 조합으로 이루어진 조화의 수로 받아들여졌다.
4는 정의를 상징하였으며, 5는 2와 3의 합이므로 혼인을 상징하였다.
이러한 방법으로 각각의 수는 평화, 완전, 풍부, 자기연민 등의 의미와 연결되어 있었다.
그들은 모든 정수를 척도로 사용하였다.
피타고라스 학파는 다른 종류의 어떤 수라도 정수의 비로 표현이 가능하다고 믿었다.
이러한 수로 이루어진 삶은 잘 정돈된 것이며, 수는 세상을 분명하게 표현할 수 있는 것이었다.
피타고라스 학파에게 불후의 명성을 안겨 주었던 것은 '유명한 피타고라스 정리에 대한 증명의 도입(Enter the proof of the famous Pythagorean theorem)'이라는 정리이다.
이 정리 때문에 만물의 척도로서의 수의 역할은 붕괴되기 시작하였다.
배 위의 피타고라스 학파 사람들이 히파수스가 비밀의 맹세를 깨뜨리고 정수의 비로는 표현할 수 없는 수가 존재함을 선언한 것에 대한 분노를 우리는 상상할 수 있다.
의 발견과 이 수가 2)무리수라는 사실에 대한 증명에서 느꼈을 그들의 감정을 상상해 보라.
피타고라스 학파의 신념체계를 지배하고 있던 수로는 정확한 표현이 불가능한 특별한 수 를 길이로 갖는 것(정사각형의 대각선)이 존재함을 확인하고 있는 피타고라스 학파 사람들의 모습을 상상해 보라. 이 순간에 피타고라스 추종자들의 얼굴을 상상해 보라.
"그럴 리가 없어"
"우리는 이것을 세상에 알려서는 안돼"
하며 속이 뒤집히는 느낌이 들었으리라. 이것을 감추려는 그들의 비밀 맹세가 지켜지겠는가? 이 은폐가 얼마나 오랫동안 가능하였겠는가?
그렇게 중요한 발견이 어떻게 감추어질 수 있었겠는가?
아마 수세기가 흐르는 동안 전 세계의 여러 분야에서 피타고라스 정리라 불리는 지식을 피타고라스 학파가 아닌 사람이 우연히 발견할 수도 있었을 것이다.
1) 분수 --정수의 비로 나타나는 수-- 를 상식적인 수라고 하였다.
2) 무리수는 비상식적인 수로 알려져 있었다. 그리스시대에 이것은 또는 고 불렸는데 각각의 뜻은 표현할 수 없는, 비율로 나타낼 수 없는 수라는 것이다. 이러한 비상식적인 수를 다루는 데에 가장 큰 문제점은 그 수의 정의가 정확하지 않다는 것이다. 그리스 사람들은 무리수를 추상적인 개념으로 생각하기보다는 기하적인 용어로서 크기나 길이로 인식하였기 때문에 직각삼각형의 빗변의 길이를 작도하는 방법으로 무리수의 존재성을 확인하였던 것이다. 한편 바빌로니아 사람들은 소수를 이용하여 근사적으로 무리수를 나타내려고 노력하였으며, 소수로는 정확하게 무리수를 표현할 수 없다는 사실을 알고 있지는 못하였다.
위의 이야기에는 많은 엇갈린 주장들이 있다. 메타폰툼의 히파수스가 기원전 5세기경에 무리수의 존재성을 증명하였으며 피타고라스 학파에서 추방되었다는 사실에는 이론이 없다. 그러나 그의 죽음에 대한 기록에는 그가 바다에 던져져 죽었다고 되어 있기도 하고, 어떤 기록에는 집단에서 추방되었으며 죽음을 가장하기 위하여 가묘와 비석을 만들었다는 주장도 있다.
피타고라스 학파의 비밀 서약은 히파수스의 제명의 정확한 의미와 이유에 대한 접근이 불가능하도록 만들었다. 여기에 여러 가지 가능성을 제시해 본다.
그가 추방된 이유는 ―
무리수 의 발견을 발표함으로써 비밀과 개인주의의 맹세를 깨뜨렸기 때문이다.
피타고라스 학파의 보수적인 비밀 보존의 관습을 깨뜨리려는 시도를하였기 때문이다.
어떠한 기하적 도형(오각형 또는/그리고 십이면체)의 발견을 외부에 누설하였기 때문이다.
이러한 비밀집단의 규약을 어기는 사소한 여러 행위와 함께 를 외부에 알렸기 때문이다.
위의 글은 [수학의 스캔들]에서 일부를 옮긴 것입니다.
현대 수학에서 실수는 그 개념이 명확하게 세워져 있지만 실수의 개념이 모호했던 고대나 근대의 수학자들은 막연히 실수의 존재만 확인할 수 있었을 뿐 그 수를 실수라고도 부르지 않았고 또한 실수가 가진 성질을 정확히 제시할 수 없었습니다.
지금 사람들은 실수가 무리수와 유리수의 두 부류로 나눌 수 있다는 것을 알고 있었지만 고대의 사람들은 모든 수가 적당한 정수의 비로 나타낼 수 있었다고 믿었었습니다. 즉 유리수만을 생각할 수 있었던 것이죠. 이와 관련되어 기원전 5 세기경 피타고라스 학파의 히파수스(Hippasus)는 정사각형의 대각선의 길이가 두 정수의 비로 나타낼 수 없음을 알게되어 이를 알리던 중 죽게되었던 일도 있었습니다.
따라서 실수의 탄생을 어떤 관점에서 보는가에 따라 달라질 수 있는데 실수의 탄생이라고 불러야 할 시점은 실수의 개념을 명확하게 제시했던 19 세기 경으로 보아야 할 것 같습니다. 이 당시 데데킨트(Dedekind) 와 코시(Cauchy) 등이 유리수로 부터 실수를 구성해 내었고 이로 인해 실수가 가지는 성질중 중요한 연속성과 완비성(모든 코시 실수열이 실수안에서 수렴한다는 성질)에 대한 명확한 개념이 자리잡게 되었습니다.
실수의 탄생 시점을 위와 같은 관점에서 본다면 실수의 탄생동기는 실수가 가지는 성질중 연속성과 완비성에 대한 직관적인 해석을 벗어나기 위해서 였다고 생각합니다. 특히 바이어슈트라스(Weierstrass) 가 모든 점에서 접선이 존재하지 않는 연속곡선이 있다는 것을 발견한 이후 그 당시의 수학자들은 극한, 연속성, 미분가능성을 연구하기 위해서는 직관적으로 받아 들였던 실수의 성질을 좀 더 엄밀하게 다루어야 할 필요가 있었다고 생각했습니다.
이에 바이어슈트라스는 먼저 실수 체계를 엄밀하게 전개하고 그 다음에 해석학의 모든 기초적인 개념을 실수 체계로 부터 유도하자는 계획을 주장하였습니다. 이 계획은 해석학의 산술화 라고 불려지게 되었고 그 이후 두가지 방향으로 계획이 이루어지게 되었는데 하나는 실수 자체가 가진 고유한 성질을 생각하여 공리적으로 접근하는 방법이고 또 다른 방법은 데데킨트나 코시, 칸토르와 머레이(Meray) 등에 의해 유리수로 부터 실수를 구성하는 것이었습니다.//
1. 도형 : 점, 선, 면, 입체 또는 그들의 집합을 도형이라 한다.
2. 점 : 서로 다른 두 직선의 만나면 점을 이룬다. 일반적으로 점을 정의하기는 어려운 일이다.
기하학 기초론에서는 직선과 함께 무정의 술어로 하고, 공리에 의해 규정한다.
* 무정의 술어 : 구체적으로 정의를 지우지 않고, 그 성질을 공리로 규정하는 수학적 개념
* 공리 : 수학의 이론에 있어서 처음부터 가정되어 있는 몇 개의 사항
3. 선 : 직선과 곡선을 선이라 한다.
4. 직선 : 평면 및 입체 기하학의 기본적 요소의 하나로 두 점 사이의 최단거리를 주는 선
5. 선분 : 직선 위에서 그 위의 두 점에 한정된 부분, 즉 양끝에 한정되어 있는 직선의 부분
6. 평면 : 평평한 면, 즉 그 위의 어떠한 두 점을 통과하는 직선도 반드시 그 위에 놓이게 되는 면
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